Параметрические уравнения, неравенства и системы, часть с

Содержание:

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)
Основные правила дифференцирования
Физический смысл производной
Геометрический смысл производной
Геометрический смысл производной
Задания первой части профильного экзамена
Физический смысл производной
Несовместные события
Задания с развернутым ответом: немного статистики
Дорогие выпускники, уважаемые учителя и родители!
Задания второй части профильного экзамена
Квадратные уравнения
- Решение неполных квадратных уравнений
План успешной подготовки к ЕГЭ по математике 2022
Основные правила дифференцирования
Бесплатно

Теория к заданию 7 из ЕГЭ по математике (профильной)

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f'(x_0)={lim}{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Функция	Производная
$c$	$0$
$x$	$1$
$x^n$	$nx^{n-1}$
${1}/{x}$	$-{1}/{x^2}$
$√x$	${1}/{2√x}$
$e^x$	$e^x$
$lnx$	${1}/{x}$
$sinx$	$cosx$
$cosx$	$-sinx$
$tgx$	${1}/{cos^2x}$
$ctgx$	$-{1}/{sin^2x}$

Основные правила дифференцирования

Тригонометрические уравнения и преобразования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Стереометрия, часть с

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Геометрический смысл производной

Письменная часть егэ: стратегии выполнения и советы от алексея конобеева

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f'(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f'(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f'(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f ‘(x_0) = 0$, называется экстремумом.

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f'(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

Отрицательным значениям производной соответствуют интервалы, на которых функция $f (x)$ убывает. Поэтому, выделим на рисунке интервалы, на которых функция убывает.

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Геометрический смысл производной

$k = tgα$

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

$f'(x_0) = k$

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f'(x_0) = k = tgα$

Решение:

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f'(x_0) = tg α > 0$

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f'(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f'(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f'(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

В ответ запишите количество данных точек.

Решение:

В выделенных интервалах находятся точки $х_2, х_4$. В ответ напишем их количество $2$.

Ответ: $2$

Задания первой части профильного экзамена

Этот блок экзамена охватывает все темы школьной программы и считается простым. Правильно решённая первая часть даёт вам возможность получить 62 балла.

Задания №1, №2 и №5 содержат несложную текстовую задачу на проценты и округления, чтение графиков и диаграмм, уравнения разных видов.

Задания №3, №6 и №8 — это геометрические задачи. Чтобы их решить, вам нужно хорошо знать теорию и уметь её применять.

Не самые простые задачи вам могут попасться в задании №4, так как они на тему теории вероятностей и требуют проработки. Для того чтобы справиться с заданием №7, вам нужно помнить геометрический и физический смысл производной.

Задания №9, №10 и №11 требуют от вас умения вычислять и преобразовывать числовые и буквенные выражения, а также решать задачи на движение и работу, сплавы и смеси.

Задание №12 представляет собой исследование функции и проверяет ваш навык поиска наибольшего и наименьшего значения как с помощью производной, так и без неё.

Ответы на эти задачи должны быть записаны в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Физический смысл производной

$v(t) = x'(t)$

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Несовместные события

Два события $А$ и $В$ называют несовместными, если отсутствуют исходы, благоприятствующие одновременно как событию
$А$, так и событию $В$. (События, которые не могут произойти одновременно)

Вероятность суммы двух несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих
событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

На экзамене по алгебре школьнику достается один вопрос их всех экзаменационных. Вероятность
того, что это вопрос на тему «Квадратные уравнения», равна $0,3$. Вероятность того, что это вопрос на тему
«Иррациональные уравнения», равна $0,18$. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение:

Данные события называются несовместные, так как школьнику достанется вопрос ЛИБО по теме «Квадратные уравнения»,
ЛИБО по теме «Иррациональные уравнения». Одновременно темы не могут попасться. Вероятность суммы двух
несовместных событий $A$ и $B$ равна сумме вероятностей этих событий:

$Р(А+В)=Р(А)+Р(В)$

$Р = 0,3+0,18=0,48$

Ответ: $0,48$

Задания с развернутым ответом: немного статистики

Многие думают, что эта часть ЕГЭ по математике очень сложная. Поэтому ребята, которые не рассчитывают на высокие баллы, даже не приступают к ней. И очень зря! С помощью этих заданий можно заработать дополнительные баллы и побороться за высокое место в рейтинге.

Сейчас будет немного статистики. В среднем около 30% учеников получают полные 2 балла за решение № 12, а вот неравенство № 14 дается хуже, только около 12% с ним справляются на полный балл. Геометрия даётся ещё хуже: стереометрию № 13 полностью решают 2% выпускников, планиметрию (№ 16) менее 5%. А вот с экономической задачей (№ 15) справляются около 15%, а это целых 2 балла! Что касается № 17 и 18, то они даются ещё хуже, но на то они и самые сложные, хотя 1 балл за № 18 по статистике получают около 25% сдающих — там нужно просто привести пример.

Дорогие выпускники, уважаемые учителя и родители!

Невозможно переоценить роль математики и математического образования в жизни современного общества

Важность математического образования и роль, которую оно играет в жизни страны, отмечены в Указе Президента Российской
Федерации от 07.05.2012 и в Концепции развития математического образования, принятой Российским Правительством в декабре 2013 года

Экзамен по математике является обязательным для всех выпускников российских школ. Это свидетельство и признание того, что
математические знания нужны каждому гражданину.
Экзамен по математике является вступительным требованием на ряд специальностей высших и средних специальных учебных заведений.
Абитуриенты, планирующие поступать на эти специальности, должны сдавать профильный экзамен.
Необходимый для поступления балл определяется требованиями приемной комиссии вузов и ссузов.

В то же время Концепция развития математического образования направлена на переход от единых образовательных программ к разнонаправленному обучению,
учитывающему образовательные запросы как школьника и его семьи, так и общества в целом.
В этой связи с 2015 года ЕГЭ по математике проводится на двух уровнях требований: базовом и профильном.
Базовый экзамен предназначен для тех, кто планирует поступать на специальности, где экзамен по математике не является вступительным требованием.
Профильный экзамен предназначен для тех, кто планирует продолжать свое математическое образование, для тех, кому важно признание
высокого уровня математической подготовки.
Вы находитесь на сайте открытых банков математических задач. Банк заданий базового уровня содержит все задания, которые могут быть включены в экзамен

Банк профильного уровня содержит задания с кратким ответом профильного ЕГЭ по математике, хотя значительная часть заданий может
использоваться при подготовке и к базовому экзамену. Разработка новых экзаменационных задач ведется постоянно и при появлении
новых заданий в ЕГЭ прототипы и аналоги этих заданий заблаговременно публикуются на нашем сайте.
Мы обновили не только внешний вид, но и функционал сайта: появилась онлайн-подготовка к ЕГЭ базового уровня.
Администрация проекта «Открытый банк» совместно с разработчиками задач продолжает работать над улучшением сайта.

Документы, регламентирующие содержание и уровень сложности задания – демонстрационные варианты, спецификации – опубликованы на
сайте федерального института педагогических измерений (ФИПИ) fipi.ru и в разделе
«Документы» на нашем сайте.
Нужно хорошо понимать, что спецификации и демонстрационные варианты отражают структуру экзамена и уровень требований к выпускникам,
но не охватывают весь спектр возможных заданий.

Мы всегда рады получать и стараемся учитывать замечания и предложения по формулировкам и составу заданий Открытого банка, по
функционалу работы сайта. Все отзывы и предложения, замечания и сообщения о неполадках, пожалуйста, присылайте на адреса электронной
почты info@mathege.ru или support@mathege.ru.

Задания второй части профильного экзамена

В эту часть вошли непростые, комбинированные задачи, однако научиться решать можно каждую.

Задание №13 посвящено уравнениям: тригонометрическим, показательным и другим. Всё чаще в этом номере дают комбинаторное уравнение — логарифм плюс тригонометрия и другие вариации.

В задании №14 вам предлагается решить стереометрическую задачу. Она может быть на объём многогранников и их сечения или нахождение расстояния между прямой и плоскостью. Чтобы решить эти задачи, нужно хорошо знать теорию и много практиковаться.

В задании №15 вам встретятся неравенства: смешанные, иррациональные или неравенства, содержащие модуль.

Для решения задачи №16 нужны твёрдые знания по планиметрии. Это задание проверяет ваше умение находить элементы трапеции, треугольника, окружности и других фигур.

Задание №17 часто называют экономикой, так как оно связано с финансовой математикой. Вам может попасться задача о кредитах: например, на поиск суммы платежа, процентной ставки или срока. Также в этом номере вы можете встретить задачу на вклады или оптимизацию. Решение потребует большого количества вычислений, поэтому развивайте навык быстрого счёта.

Одно из самых сложных заданий ЕГЭ по профильной математике 2021 — №18. Это задача с параметром. В школе эту тему часто обходят стороной. Прежде чем приниматься за решение, нужно хорошо повторить функции, их свойства и графики.

Задание №19 — нестандартная задача, можно сказать, олимпиадного уровня. Она проверяет умение строить и исследовать простейшие математические модели. Вам помогут логика и хорошее знание математики в целом.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ — некоторые числа a$≠0$, $x$ — неизвестное. Перед тем как решать уравнение, необходимо раскрыть скобки и собрать все слагаемые в левой части уравнения.

Числа $a, b, c$ называются коэффициентами квадратного уравнения.

$a$ — старший коэффициент;
$b$ — средний коэффициент;
$c$ — свободный член.

Если в квадратном уравнении коэффициенты $b$ и $c$ не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение $2x^2 – 8x + 3 = 0$. Если один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например, $5x^2 – 2x = 0$.

Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение имеет вид $ax^2 + bx = 0$, если $a$≠0$; $c$=0$. В левой части этого уравнения есть общий множитель $x$.

1. Вынесем общий множитель $x$ за скобки.

Мы получим $x (ax + b) = 0$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем $x = 0$ или $ax + b =0$. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

$x = 0; ax + b = 0$

2. Решаем получившиеся уравнения каждое отдельно.

Мы получим $x = 0$ и $x={-b}/{a}$. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня $x = 0$ и $x={-b}/{a}$

$4х^2 — 5х = 0$

Вынесем х как общий множитель за скобки:

$х (4х — 5) = 0$

Приравняем каждый множитель к нулю и найдем корни уравнения.

$x = 0$ или $4х — 5 = 0$

$х_1 = 0 х_2 = 1,25$

Ответ: $х_1 = 0; х_2 = 1,25$

Неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0, a≠0, b=0$

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим $x^2$.

$ax^2 + c = 0$

$ax^2 = — c$

$x_2 = {-c}/{a}$

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если ${-c}/{a}>0$, то получаем два корня: $x = ±v{{-c}/{a}}$

если ${-c}/{a}<0$, то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

$x^2 — 16 = 0$

$x^2 = 16$

$x = ±4$

Ответ: $х_1 = 4, х_2 = — 4$

Решение с помощью дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение

$b^2 — 4ac$.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. $D > 0$. Тогда корни уравнения равны:

$x_{1,2}={-b±√D}/{2a}$

2. $D = 0$. В данном случае решение даёт два двукратных корня:

$x_{1}=x_{2}={-b}/{2a}$

3. $D < 0$. В этом случае уравнение не имеет корней.

$3х^2 — 11 = -8х$

Соберем все слагаемые в левую часть уравнения и расставим в порядке убывания степеней

$3х^2 + 8х — 11 = 0$

$a = 3 ,b = 8, c = — 11$

$D = b^2- 4ac = 82- 4 · 3 · (-11) = 196 = 142$

$x_{1}={-b+√D}/{2a}={-8+14}/{6}=1$

$x_{2}={-b-√D}/{2a}={-8-14}/{6}=-3{2}/{3}$

Ответ: $x_1=1, x_2=-3{2}/{3}$

Устные способы

Если сумма коэффициентов равна нулю $(а + b + c = 0)$, то $х_1= 1, х_2={с}/{а}$

$4х^2+ 3х — 7 = 0$

$4 + 3 — 7 = 0$, следовательно $х_1= 1, х_2=-{7}/{4}$

Ответ: $х_1= 1, х_2 = -{7}/{4}$

Если старший коэффициент в сумме со свободным равен среднему коэффициенту $(a + c = b)$, то $х_1= — 1, х_2=-{с}/{а}$

$5х^2+ 7х + 2 = 0$

$5 + 2 = 7$, следовательно, $х_1= -1, х_2 =-{2}/{5}$

Ответ: $х_1= -1, х_2 = -{2}/{5}$

Кубические уравнения

Для решения простых кубических уравнений необходимо обе части представить в виде основания в третьей степени. Далее извлечь кубический корень и получить простое линейное уравнение.

$(x — 3)^3 = 27$

Представим обе части как основания в третьей степени

$(x — 3)^3 = $33

Извлечем кубический корень из обеих частей

$х — 3 = 3$

Соберем известные слагаемые в правой части

$x = 6$

Ответ: $х = 6$

Дробно рациональные уравнения

Рациональное уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями, называется дробным.

Чтобы решить дробное уравнение, необходимо:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
решить получившееся целое уравнение;
исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

$4x + 1 — {3}/{x} = 0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

$x≠0$

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

$4x + 1 — {3}/{x}= 0¦· x$

$4x · x + 1 · x — {3·x}/{x} = 0$

3. решаем полученное уравнение

$4x^2 + x — 3 = 0$

Решим вторым устным способом, т.к. $а + с = b$

Тогда $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

Ответ: $х_1 = — 1, х_2 = {3}/{4}$

При решении уравнения с двумя дробями можно использовать основное свойство пропорции.

Основное свойство пропорции: Если ${a}/{b} = {c}/{d}$, то $a · d = b · c$

План успешной подготовки к ЕГЭ по математике 2022

Если вы хотите получить больше 80 баллов на ЕГЭ, нужно идеально решать часть с кратким ответом, а также справляться с большинством заданий с развернутым ответом.

Чтобы постепенно прорабатывать материал, воспользуйтесь кодификатором

В нем обратите внимание на таблицу 2, а именно на блоки:

Алгебра
Уравнения и неравенства
Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
Функции
Начала математического анализа
Геометрия

Ориентируйтесь на указанную последовательность, но геометрию изучайте параллельно с остальными блоками — на нее нужно больше времени.

Самое главное — ни в коем случае не ограничивайтесь теорией. Ее у вас не спросят на экзамене, а вот задания решать придется. Поэтому тренируйте практические навыки: актуальные задания вы сможете найти в открытом банке заданий на сайте ФИПИ или в нашем тренажере «Решутест».

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Бесплатно

ЕГЭ.рф

Сайт: https://егэ.рф

Платформа бесплатного тестирования уровня подготовки школьников к ЕГЭ по математике базового и профильного уровней — на основе реальных заданий от ФИПИ 2021.

Первая часть экзамена будет проверена сразу после сдачи и ты увидишь свои результаты незамедлительно. Также ты сможешь получить детальный разбор ошибок в письменных заданиях от экспертов ЕГЭ.

А по итогу ты сможешь сопоставить свои результаты с проходными баллами в ВУЗы и выбрать, куда поступать.

«4ЕГЭ»

Сайт: https://4ege.ru

Каждый видеоурок состоит из двух основных частей: простое изложение самой важной и необходимой теории по заданной теме и решения основных задач ЕГЭ

«Синергия»

Сайт: https://synergy.ru

Для вашего удобства на сайте собрано все, что может потребоваться для подготовки к экзамену по математике:

Демоверсии и КИМы, ЕГЭ предыдущих периодов
Теория и практика по каждому типу задания
Официальная информация и новости

Весь теоретический материал по математике разделен на вопросы из ЕГЭ и собран в файлы. Просто выбирайте интересующую тему (вопрос, раздел), открывайте лист и повторяйте (или учите, если забыли).

Информация изложена кратко, но просто и понятно. Схематическая подача поможет все быстро запомнить.

В практическом разделе собраны готовые решения самых сложных тестов. Просто выбирайте задание и смотрите подробный план решений задач того или иного типа.

Для удобства разбора листы разделены на 2 части. В первой — только сами задачи, которые можно решать самостоятельно. Во второй части — те же задачи, но с расписанным решением.

«РешуЕГЭ»

Сайт: https://mathb-ege.sdamgia.ru

Здесь регулярно выкладывают тренировочные варианты ЕГЭ по математике базового и профильного уровней. Каждый месяц — новый вариант. По окончании тестирования система проверит ваши ответы, покажет правильные решения и выставит оценку.

Чтобы тренироваться по определённым темам, вы можете составить свой вариант — по конкретным разделам задачного каталога.

Также на сайт размещен курс из 100 занятий «Д. Д. Гущин. Готовимся к ЕГЭ по профильной математике«. В нем рассмотрены все экзаменационные темы, дано большое количество заданий из школьной математики, материалов ЕГЭ, математических олимпиад и вузовских вступительных испытаний.

Занятия включают в себя конспекты, видеоуроки с разбором простых и сложных случаев, упражнения для мгновенной самопроверки и варианты для самостоятельной работы.

Для начала нужно авторизоваться на сайте и пройти входное тестирование, чтобы был построен ваш индивидуальный образовательный маршрут.

«Математика ЕГЭ 100БАЛЛОВ»

Сайт: https://vk.com

Страница для самоподготовки к ЕГЭ по математике волонтерского некоммерческого проекта. Ежедневно размещаются различные задания и полезные материалы для подготовки к экзамену по математике.

Есть теория в картинках, видеоуроки по отдельным темам, практические задания и пробные варианты ЕГЭ.

«Математикс»

Сайт: https://www.youtube.com

Канал создан в помощь тем, кто готовится к ЕГЭ по математике.

Здесь вы найдете плейлисты, посвященные следующим темам:

Уравнениям и Неравенствам №13 и №15 ЕГЭ
Задачам ЕГЭ №17 №18 №19
Стереометрии и Планиметрии №14 и №16 ЕГЭ
Высшей Математике (Теория с примерами)
Разборам задач из вариантов Ларина
Разборам вариантов СтатГрад

«ЕГЭ и ОГЭ на 80-ballov. Годограф»

Сайт: https://www.youtube.com

На ютуб-канале выложены короткие видеоуроки по основным темам подготовки «ЕГЭ по Математике 2021 80 баллов». Всего в плейлисте 261 видео. Для бесплатного просмотра открыто примерно 20% полного курса.

Полный курс, включающий в себя не только видеоматериал, доступен по платной подписке на сайте проекта 80-ballov.ru. Можно сначала оценить качество материала и подачи и, при необходимости, оплатить полный доступ.

Канал Бориса Трушина

Сайт: https://www.youtube.com

Личный канал преподавателя математики онлайн-школы «Фоксфорд».

Здесь вы найдете короткие и ёмкие видеоуроки по следующим темам:

Задания 1-12. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень
Задания 13-19. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень
Разборы вариантов ЕГЭ
Подборки по темам: Квадратный трёхчлен, Планиметрия, Неравенства, Теория вероятностей, Тригонометрия, Теория чисел и др.