Тригонометрические уравнения и преобразования

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т.е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Как подготовиться к ЕГЭ по математике базового уровня

В ЕГЭ по математике базового уровня 20 заданий. Они не требуют развернутой записи решения, достаточно найти ответ и правильно записать его в графу.

Один верный ответ — 1 балл.  

На выполнение заданий даётся 3 часа. Этого достаточно, чтобы всё решить, перепроверить и аккуратно перенести на чистовик.

При выполнении заданий нужно правильно понять, что именно спрашивают, а это не всегда очевидно

Для решения задачи часто нужно составить уравнение, а для этого важно не упустить ни одного элемента условия и правильно записать его математическим языком

В некоторых заданиях быстрее и проще не проводить долгих вычислений, а прикинуть или догадаться, каков верный ответ. Но после этого, разумеется, надо выполнить проверку. Так вы экономите время и развиваете математическое мышление и эрудицию.

Например, задание №16, текстовая задача.

‍Для начала мы вводим неизвестное: х деталей в час делает второй рабочий. Тогда х+4 детали в час делает первый рабочий. Известно, что 140 деталей первый рабочий делает на 4 часа быстрее, чем второй. Составляем уравнение:

‍Решаем и получаем выражение х(x+4)=140. Внимательно присмотритесь к этому равенству. Вам необходимо найти такое значение х, при котором произведение двух чисел, отличающихся на 4, будет равно 140. Необязательно считать, можно просто увидеть, что это 10 и 14. Ответ на задачу: х=10.

Чтобы развить в себе подобное математическое видение, достаточно при подготовке к ЕГЭ по математике решать как можно больше задач и не обращаться к калькулятору сразу же, как только надо что-то посчитать.

Ещё один пример. Задание №6, арифметика в жизни.

‍Здесь тоже гораздо быстрее не делить с остатком, а прикинуть, сколько автобусов может понадобиться, а затем выполнить простую операцию умножения.

В данном случае нам надо перевести 274 человека, а в автобус влезает 46. Возьмём для начала цифру 6 и умножим на 46, получилось 276 человек. Это значит, что мы нашли правильный ответ, не углубляясь в сложные расчёты.

Помните о том, что большинство задач можно решить не одним, а несколькими способами. Это поможет вам избежать ошибок, в том числе связанных с выполнением вычислений или обычной невнимательностью. Если вы решили задачу двумя способами и получили один и тот же ответ, значит, он точно правильный. При этом выбирайте более простые пути решения, а вот громоздких решений, наоборот, избегайте. Чем проще решение, тем меньше вероятность ошибиться.

Цель и задачи изучения математики

При изучении дисциплины обеспечивается фундаментальная подготовка студента по таким разделам математики как, линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, математический анализ, теория вероятностей и математическая статистика, соблюдается связь с дисциплинами: вычислительная математика, информатика, физика; происходит знакомство со стержневыми проблемами математики, базовыми положениями, навыками и понятиями, обязательными для прочного усвоения последующих дисциплин и практического использования полученных знаний в решении конкретных задач, которые ставятся перед инженером.

Дорогие выпускники, уважаемые учителя и родители!

Невозможно переоценить роль математики и математического образования в жизни современного общества

Важность математического образования и роль, которую оно играет в жизни страны, отмечены в Указе Президента Российской
Федерации от 07.05.2012 и в Концепции развития математического образования, принятой Российским Правительством в декабре 2013 года

Экзамен по математике является обязательным для всех выпускников российских школ. Это свидетельство и признание того, что
математические знания нужны каждому гражданину.
Экзамен по математике является вступительным требованием на ряд специальностей высших и средних специальных учебных заведений.
Абитуриенты, планирующие поступать на эти специальности, должны сдавать профильный экзамен.
Необходимый для поступления балл определяется требованиями приемной комиссии вузов и ссузов.

В то же время Концепция развития математического образования направлена на переход от единых образовательных программ к разнонаправленному обучению,
учитывающему образовательные запросы как школьника и его семьи, так и общества в целом.
В этой связи с 2015 года ЕГЭ по математике проводится на двух уровнях требований: базовом и профильном.
Базовый экзамен предназначен для тех, кто планирует поступать на специальности, где экзамен по математике не является вступительным требованием.
Профильный экзамен предназначен для тех, кто планирует продолжать свое математическое образование, для тех, кому важно признание
высокого уровня математической подготовки.
Вы находитесь на сайте открытых банков математических задач. Банк заданий базового уровня содержит все задания, которые могут быть включены в экзамен

Банк профильного уровня содержит задания с кратким ответом профильного ЕГЭ по математике, хотя значительная часть заданий может
использоваться при подготовке и к базовому экзамену. Разработка новых экзаменационных задач ведется постоянно и при появлении
новых заданий в ЕГЭ прототипы и аналоги этих заданий заблаговременно публикуются на нашем сайте.
Мы обновили не только внешний вид,  но и функционал сайта: появилась онлайн-подготовка к ЕГЭ базового уровня.
Администрация проекта «Открытый банк» совместно с разработчиками задач продолжает работать над улучшением сайта.

Документы, регламентирующие содержание и уровень сложности задания – демонстрационные варианты, спецификации – опубликованы на
сайте федерального института педагогических измерений (ФИПИ) fipi.ru и в разделе
«Документы» на нашем сайте.
Нужно хорошо понимать, что спецификации и демонстрационные варианты отражают структуру экзамена и уровень требований к выпускникам,
но не охватывают весь спектр возможных заданий.

Мы всегда рады получать и стараемся учитывать замечания и предложения по формулировкам и составу заданий Открытого банка, по
функционалу работы сайта. Все отзывы и предложения, замечания и сообщения о неполадках, пожалуйста, присылайте на адреса электронной
почты info@mathege.ru или support@mathege.ru.

Логарифмические уравнения

Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$, где $а$ – положительное число, отличное от $1$, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Для решения логарифмических уравнений необходимо знать свойства логарифмов: все свойства логарифмов мы будем рассматривать для $a > 0, a≠ 1, b> 0, c> 0, m$ – любое действительное число.

1. Для любых действительных чисел $m$ и $n$ справедливы равенства:

$log_{а}b^m=mlog_{a}b;$

$log_{a^m}b={1}/{m}log_{a}b.$

$log_{a^n}b^m={m}/{n}log_{a}b$

Пример:

$log_{3}3^{10}=10log_{3}3=10;$

$log_{5^3}7={1}/{3}log_{5}7;$

$log_{3^7}4^5={5}/{7}log_{3}4;$

2. Логарифм произведения равен сумме логарифмов по тому же основанию от каждого множителя.

$log_a(bc)=log_{a}b+log_{a}c$

3. Логарифм частного равен разности логарифмов от числителя и знаменателя по тему же основанию

$log_{a}{b}/{c}=log_{a}b-log_{a}c$

4. При умножении двух логарифмов можно поменять местами их основания

$log_{a}b∙log_{c}d=log_{c}b∙log_{a}d$, если $a, b, c$ и $d > 0, a≠1, b≠1.$

5. $c^(log_{a}b)=b^{log_{a}b}$, где $а, b, c > 0, a≠1$

6. Формула перехода к новому основанию

$log_{a}b={log_{c}b}/{log_{c}a}$

7. В частности, если необходимо поменять местами основание и подлогарифмическое выражение

$log_{a}b={1}/{log_{b}a}$

Можно выделить несколько основных видов логарифмических уравнений:

— Простейшие логарифмические уравнения: $log_{a}x=b$. Решение данного вида уравнений следует из определения логарифма, т.е. $x=a^b$ и $х > 0$

Пример:

$log_{2}x=3$

Представим обе части уравнения в виде логарифма по основанию $2$

$log_{2}x=log_{2}2^3$

Если логарифмы по одинаковому основанию равны, то подлогарифмические выражения тоже равны.

$x = 8$

Ответ: $х = 8$

— Уравнения вида: $log_{a}f(x)=log_{a}g(x)$. Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения и учитываем ОДЗ:

$\table\{\ f(x)=g(x);\ f(x)>0;\ g(x) > 0, а > 0, а≠1;$

Пример:

$log_{3}(x^2-3x-5)=log_{3}(7-2x)$

Т.к. основания одинаковые, то приравниваем подлогарифмические выражения

$x^2-3x-5=7-2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения и приводим подобные слагаемые

$x^2-x-12=0$

$x_1=4,x_2= -3$

Проверим найденные корни по условиям $\table\{\ x^2-3x-5>0;\ 7-2x>0;$

При подстановке во второе неравенство корень $х=4$ не удовлетворяет условию, следовательно, он посторонний корень

Ответ: $х=-3$

Метод замены переменной.

В данном методе надо:

1. Записать ОДЗ уравнения.
2. По свойствам логарифмов добиться того, чтобы в уравнении получились одинаковые логарифмы.
3. Заменить $log_{a}f(x)$ на любую переменную.
4. Решить уравнение относительно новой переменной.
5. Вернутся в п.3, подставить вместо переменной значение и получить простейшее уравнение вида: $log_{a}x=b$
6. Решить простейшее уравнение.
7. После нахождения корней логарифмического уравнения необходимо поставить их в п.1 и проверить условие ОДЗ.

Пример:

Решите уравнение $log_{2}√x+2log_{√x}2-3=0$

Решение:

1. Запишем ОДЗ уравнения:

$\table\{\ х>0,\text»так как стоит под знаком корня и логарифма»;\ √х≠1→х≠1;$

2. Сделаем логарифмы по основанию $2$, для этого воспользуемся во втором слагаемом правилом перехода к новому основанию:

$log_{2}√x+{2}/{log_{2}√x}-3=0$

3. Далее сделаем замену переменной $log_{2}√x=t$

4. Получим дробно — рациональное уравнение относительно переменной t

$t+{2}/{t}-3=0$

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $t$.

${t^2+2-3t}/{t}=0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$t^2+2-3t=0$, $t≠0$

5. Решим полученное квадратное уравнение по теореме Виета:

$t^2-3t+2=0$

$t_1=1; t_2=2$

6. Вернемся в п.3, сделаем обратную замену и получим два простых логарифмических уравнения:

$log_{2}√x=1$, $log_{2}√x=2$

Прологарифмируем правые части уравнений

$log_{2}√x=log_{2}2$, $log_{2}√x=log_{2}4$

Приравняем подлогарифмические выражения

$√x=2$, $√x=4$

Чтобы избавиться от корня, возведем обе части уравнения в квадрат

$х_1=4$, $х_2= 16$

7. Подставим корни логарифмического уравнения в п.1 и проверим условие ОДЗ.

$\{\table\ 4 >0; \4≠1;$

Первый корень удовлетворяет ОДЗ.

$\{\table\ 16 >0; \16≠1;$ Второй корень тоже удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $4; 16$

Уравнения вида $log_{a^2}x+log_{a}x+c=0$. Такие уравнения решаются способом введения новой переменной и переходом к обычному квадратному уравнению. После того, как корни уравнения будут найдены, надо отобрать их с учетом ОДЗ.

План успешной подготовки к ЕГЭ по математике 2022

Если вы хотите получить больше 80 баллов на ЕГЭ, нужно идеально решать часть с кратким ответом, а также справляться с большинством заданий с развернутым ответом.

Чтобы постепенно прорабатывать материал, воспользуйтесь кодификатором

В нем обратите внимание на таблицу 2, а именно на блоки:

• Алгебра
• Уравнения и неравенства
• Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей
• Функции
• Начала математического анализа
• Геометрия

Ориентируйтесь на указанную последовательность, но геометрию изучайте параллельно с остальными блоками — на нее нужно больше времени.

Самое главное — ни в коем случае не ограничивайтесь теорией. Ее у вас не спросят на экзамене, а вот задания решать придется. Поэтому тренируйте практические навыки: актуальные задания вы сможете найти в открытом банке заданий на сайте ФИПИ или в нашем тренажере «Решутест».

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. 

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$. (Рис.14)
6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника. (Рис.14)

Один острый угол прямоугольного треугольника на $44°$ больше другого острого угла. Найдите больший острый угол.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ $∠А$ и $∠В$ – острые.

Пусть $∠ А – х$, тогда $∠ В — (х+44)$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

На основании этого правила, составим и решим уравнение:

$х+х+44=90$

$2х+44=90$

$2х=90-44$

$2х=46$

$х=23$

Угол $В$ больший в этом треугольнике, через $«х»$ он записывался как, $х+44$, следовательно, $∠В=23+44=67°$.

Ответ: $67$

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. 

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
5. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2x+cos^2x=1$
6. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
7. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
8. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$	$30$	$45$	$60$
$sinα$	${1}/{2}$	${√2}/{2}$	${√3}/{2}$
$cosα$	${√3}/{2}$	${√2}/{2}$	${1}/{2}$
$tgα$	${√3}/{3}$	$1$	$√3$
$ctgα$	$√3$	$1$	${√3}/{3}$

Бесплатно

ЕГЭ.рф

Сайт: https://егэ.рф

Платформа бесплатного тестирования уровня подготовки школьников к ЕГЭ по математике базового и профильного уровней — на основе реальных заданий от ФИПИ 2021.

Первая часть экзамена будет проверена сразу после сдачи и ты увидишь свои результаты незамедлительно. Также ты сможешь получить детальный разбор ошибок в письменных заданиях от экспертов ЕГЭ.

А по итогу ты сможешь сопоставить свои результаты с проходными баллами в ВУЗы и выбрать, куда поступать.

«4ЕГЭ»

Сайт: https://4ege.ru

Каждый видеоурок состоит из двух основных частей: простое изложение самой важной и необходимой теории по заданной теме и решения основных задач ЕГЭ

«Синергия»

Сайт: https://synergy.ru

Для вашего удобства на сайте собрано все, что может потребоваться для подготовки к экзамену по математике:

• Демоверсии и КИМы, ЕГЭ предыдущих периодов
• Теория и практика по каждому типу задания
• Официальная информация и новости

Весь теоретический материал по математике разделен на вопросы из ЕГЭ и собран в файлы. Просто выбирайте интересующую тему (вопрос, раздел), открывайте лист и повторяйте (или учите, если забыли).

Информация изложена кратко, но просто и понятно. Схематическая подача поможет все быстро запомнить.

В практическом разделе собраны готовые решения самых сложных тестов. Просто выбирайте задание и смотрите подробный план решений задач того или иного типа.

Для удобства разбора листы разделены на 2 части. В первой — только сами задачи, которые можно решать самостоятельно. Во второй части — те же задачи, но с расписанным решением.

«РешуЕГЭ»

Сайт: https://mathb-ege.sdamgia.ru

Здесь регулярно выкладывают тренировочные варианты ЕГЭ по математике базового и профильного уровней. Каждый месяц — новый вариант. По окончании тестирования система проверит ваши ответы, покажет правильные решения и выставит оценку.

Чтобы тренироваться по определённым темам, вы можете составить свой вариант — по конкретным разделам задачного каталога.

Также на сайт размещен курс из 100 занятий «Д. Д. Гущин. Готовимся к ЕГЭ по профильной математике«. В нем рассмотрены все экзаменационные темы, дано большое количество заданий из школьной математики, материалов ЕГЭ, математических олимпиад и вузовских вступительных испытаний.

Занятия включают в себя конспекты, видеоуроки с разбором простых и сложных случаев, упражнения для мгновенной самопроверки и варианты для самостоятельной работы.

Для начала нужно авторизоваться на сайте и пройти входное тестирование, чтобы был построен ваш индивидуальный образовательный маршрут.

«Математика ЕГЭ 100БАЛЛОВ»

Сайт: https://vk.com

Страница для самоподготовки к ЕГЭ по математике волонтерского некоммерческого проекта. Ежедневно размещаются различные задания и полезные материалы для подготовки к экзамену по математике.

Есть теория в картинках, видеоуроки по отдельным темам, практические задания и пробные варианты ЕГЭ.

«Математикс»

Сайт: https://www.youtube.com

Канал создан в помощь тем, кто готовится к ЕГЭ по математике.

Здесь вы найдете плейлисты, посвященные следующим темам:

• Уравнениям и Неравенствам №13 и №15 ЕГЭ
• Задачам ЕГЭ №17 №18 №19
• Стереометрии и Планиметрии №14 и №16 ЕГЭ
• Высшей Математике (Теория с примерами)
• Разборам задач из вариантов Ларина
• Разборам вариантов СтатГрад

«ЕГЭ и ОГЭ на 80-ballov. Годограф»

Сайт: https://www.youtube.com

На ютуб-канале выложены короткие видеоуроки по основным темам подготовки «ЕГЭ по Математике 2021 80 баллов». Всего в плейлисте 261 видео. Для бесплатного просмотра открыто примерно 20% полного курса.

Полный курс, включающий в себя не только видеоматериал, доступен по платной подписке на сайте проекта 80-ballov.ru. Можно сначала оценить качество материала и подачи и, при необходимости, оплатить полный доступ.

Канал Бориса Трушина

Сайт: https://www.youtube.com

Личный канал преподавателя математики онлайн-школы «Фоксфорд».

Здесь вы найдете короткие и ёмкие видеоуроки по следующим темам:

• Задания 1-12. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень
• Задания 13-19. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень
• Разборы вариантов ЕГЭ
• Подборки по темам: Квадратный трёхчлен, Планиметрия, Неравенства, Теория вероятностей, Тригонометрия, Теория чисел и др.

InternetUrok

Курсы подготовки к ЕГЭ по математике двух направлений: 

Базовая математика

• Количество занятий: 49
• Длительность курса: ~200 часов
• Видеоконсультации с репетитором: 1 раз в неделю (на тарифе «Репетитор онлайн»)

Основная цель  — научить пониманию математики и применению этого понимания на практике, а не просто решать задачи из банка заданий и ЕГЭ прошлых лет.

Подробно рассмотрим темы, которые входят в программу ЕГЭ базового уровня, восполним пробелы в знаниях

Обратите внимание, что в курсе нет тем и заданий, которые не предусмотрены в базовом уровне ЕГЭ по математике

Профильная математика

• Количество занятий: 60
• Длительность курса: ~240 часов
• Видеоконсультации с репетитором: 1 раз в неделю (на тарифе «Репетитор онлайн»)

Цель курса – вооружить вас знаниями, помочь сформировать навыки и отработать их на практике, что в конечном итоге позволит успешно сдать ЕГЭ.

Вы можете начать заниматься независимо от текущего уровня подготовки. Занятия можно проходить в любое удобное время и в комфортном темпе. Чтобы вы не сомневались в том, что успешно усвоили тему, каждое занятие оценивается в баллах.

Для тренировки и закрепления полученных знаний и навыков есть специальные тренажеры, в которых использованы задачи ЕГЭ прошлых лет.

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))’= f'(x)±g'(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f'(x) = (3x^5 )’-(cos x)’ + ({1}/{x})’ = 15x^4 + sinx — {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))’= f'(x) · g(x)+ f(x) · g(x)’$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f'(x)=(4x)’·cosx+4x·(cosx)’=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})’={f'(x)·g(x)-f(x)·g(x)’}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)’·e^x-5x^5·(e^x)’}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))’=f'(g(x))·g'(x)$

$f(x)= cos(5x)$

$f'(x)=cos'(5x)·(5x)’=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Тема: «Задачи из повседневной жизни»

За это задание вы можете получить 1 балл на ЕГЭ в 2022 году

Задача 1

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит $8200$ рублей. До установки счётчиков за воду платили $1200$ рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата во…

Задача 2

Мобильный телефон стоил $13500$ рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до $10530$ рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Задача 3

Рост человека — $5$ футов $3$ дюйма. Выразите его рост в сантиметрах, если $1$ фут равен $0{,}305$ м, а $1$ дюйм равен $2{,}54$ см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

Задача 4

Диагональ экрана телевизора равна $42$ дюймам. Выразите диагональ экрана в сантиметрах. Считайте, что $1$ дюйм равен $2{,}54$ см. Результат округлите до целого числа.

Задача 5

На автозаправке клиент отдал кассиру $1100$ рублей и попросил залить бензин до полного бака. Цена бензина — $38$ руб. $50$ коп. за литр. Сдачи клиент получил $99$ рублей. Сколько литров бе…

Задача 6

В магазине покупатель купил $12$ банок консервов. Цена одной банки $119$ рублей. Сколько рублей сдачи должен получить покупатель с $1500$ рублей?

Задача 7

В квартире установлен прибор учёта расхода холодной воды (счётчик). Показания счётчика $1$ июня составляли $120$ куб. м воды, а $1$ июля — $136$ куб. м. Сколько нужно заплатить за холодную…

Задача 8

Показания счётчика электроэнергии $1$ января составляли $1567$ киловатт-часов, а $1$ февраля — $1703$ киловатт-часа. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за январь, если $1$ киловатт-ча…

Задача 9

Налог на доходы составляет $13%$ от заработной платы. После удержания налога на доходы Татьяна Львовна получила $13485$ рублей. Сколько рублей составляет заработная плата Татьяны Львов…

Задача 10

На городском фестивале грамоты получили $182$ человека, что составляет $35%$ от числа участников фестиваля. Сколько всего было участников фестиваля?

Задача 11

Стоимость проездного билета на электричку на месяц составляет $720$ рублей, а стоимость билета на одну поездку — $20$ рублей. Сергей купил проездной и сделал за месяц $42$ поездки. На ск…

Задача 12

Стоимость проездного билета на электричку на месяц составляет $840$ рублей, а стоимость билета на одну поездку — $30$ рублей. Полина купила проездной и сделала за месяц $36$ поездок. На …

Задача 13

Стоимость полугодовой подписки на журнал «Мой дом» составляет $1000$ рублей, а стоимость одного номера журнала — $54$ рубля. За полгода Ира купила $21$ номер журнала. На сколько рублей м…

Задача 14

Стоимость полугодовой подписки на журнал «Строю сам» составляет $840$ рублей, а стоимость одного номера журнала — $43$ рубля. За полгода Михаил купил $24$ номера журнала. На сколько рубл…

Задача 15

Оптовая цена ёлки — $210$ рублей. Розничная цена на $15%$ выше оптовой. Какое наибольшее число таких ёлок можно купить по розничной цене на $5000$ рублей?

Задача 16

Магазин закупает коробки для хранения овощей по оптовой цене $75$ рублей за штуку и продаёт с наценкой $25%$. Какое наибольшее число таких коробок можно купить в этом магазине на $500$ р…

Задача 17

Смартфон стоил 3900 рублей. После снижения цены он стал стоить 3354 рублей. На сколько процентов была снижена цена на смартфон?

Задача 18

Смартфон стоил 4200 рублей. После снижения цены он стал стоить 3738 рублей. На сколько процентов была снижена цена на смартфон?

Задача 19

Бегун пробежал 150 м за 25 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

Задача 20

Бегун пробежал 320 м за 40 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна на дистанции. Ответ дайте в километрах в час.

1

…

Принцип 4 «Эффективные методы»

Качество подготовки к экзаменам во многом зависит от методики преподавателя. Я всегда руководствуясь принципом Парето о том, всего 20% знаний дают 80% результата. Поэтому первостепенной задачей является классификация заданий, выбор наиболее распространенных типов и отбор наиболее эффективных методов их решений.

К сожалению, многие полезные приемы, существенно облегчающие процесс решения и экономящие уйму времени, не входят в школьную программу. Например, метод рационализации, который серьезно упрощает работу со сложными логарифмическими, показательным и другими типами неравенств, изучается только в сильных физмат школах. А между тем он намного легче и проще стандартных преобразований. Его применение не только экономит время, но и сокращает количество случайных ошибок по невнимательности. При этом научиться применять его под силу «троечнику» всего за 1-2 урока. А значит вероятность справиться со сложными задачами профиля у ваших учеников увеличивается в разы.

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

$v(t) = x'(t)$

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ — координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

Решение:

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x'(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

$3t-3 = 12$

$3t = 15$

$t = 5$

Ответ: $5$

Examer

Сайт — examer.ru/ege_po_matematike/2021/ Длительность обучения — индивидуально. Стоимость обучения — бесплатно для самостоятельной подготовки или 2 490 рублей в режиме Турбо с видеоуроками и разбором домашних заданий.

На этом ресурсе школьники могут готовиться только к экзамену профильного уровня. На Examer нет репетиторов или уроков как таковых. Здесь есть теория для самостоятельного изучения и задания для практической отработки. Можно заниматься дома, а можно — в любом удобном месте, поскольку у ресурса есть мобильные приложения для Android и iOS.

Существенный недостаток — отсутствие разборов заданий. Если у ребенка не получается решить какую-то задачу, с проблемой он будет разбираться самостоятельно. Для этого можно почитать теоретические материалы или воспользоваться поиском в интернете. Безусловный плюс ресурса — бесплатный доступ на неограниченной время. Это прекрасная возможность для ребят из малообеспеченных семей подтянуть свои знания по математике и подготовиться к ЕГЭ.

Перед началом обучения система попросит пройти тест на определение начального уровня знаний и предполагаемого результата ЕГЭ по математике. Затем для каждого в автоматическом режиме составляется индивидуальный план подготовки. Студент проходит модули последовательно. Каждый новый урок будет открыт после успешного решения задач по предыдущему.

Важно!
В бесплатном режиме возможности системы ограничены. Максимальную эффективность дает Турбокурс, в котором предусмотрено 12 видеоуроков в месяц

Домашние задания с проверкой преподавателя, тестирование, помощь в решении трудных задач.

Метод группировки

Методом группировки удобно пользоваться, когда на множители необходимо разложить многочлен с четным количеством слагаемых. В данном способе необходимо собрать слагаемые по группам и вынести из каждой группы общий множитель за скобку. У нескольких групп после вынесения в скобках должны получиться одинаковые выражения, далее эту скобку как общий множитель выносим вперед и умножаем на скобку полученного частного.

Пример:

Разложить многочлен на множители $2a^3-a^2+4a-2$

Решение:

Для разложения данного многочлена применим метод группировки слагаемых, для этого сгруппируем первые два и последние два слагаемых, при этом важно правильно поставить знак перед второй группировкой, мы поставим знак + и поэтому в скобках запишем слагаемые со своими знаками. $2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

$2a^3-a^2+4a-2=(2a^3-a^2)+(4a-2)$

Далее из каждой группы вынесем общий множитель

$(2a^3-a^2)+(4a-2)=a^2(2a-1)+2(2a-1)$

После вынесения общих множителей получили пару одинаковых скобок. Теперь данную скобку выносим как общий множитель.

$a^2(2a-1)+2(2a-1)=(2a-1)(a^2+2)$

Произведение данных скобок — это конечный результат разложения на множители.

Независимые события

Два события $А$ и $В$ называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того,
появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий $A$ и $B$ равна произведению этих
вероятностей:

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

Иван Иванович купил два различных лотерейных билета. Вероятность того, что выиграет первый
лотерейный билет, равна $0,15$. Вероятность того, что выиграет второй лотерейный билет, равна $0,12$. Иван Иванович
участвует в обоих розыгрышах. Считая, что розыгрыши проводятся независимо друг от друга, найдите вероятность того,
что Иван Иванович выиграет в обоих розыгрышах.

Решения:

Вероятность $Р(А)$ — выиграет первый билет.

Вероятность $Р(В)$ — выиграет второй билет.

События $А$ и $В$ – это независимые события. То есть, чтобы найти вероятность того, что они произойдут оба
события, нужно найти произведение вероятностей

$Р(А·В)=Р(А)·Р(В)$

$Р=0,15·0,12=0,018$

Ответ: $0,018$